摘要：板殼分析是現代固體力學的一個重要分支。這門學科幾乎與一切工程設計都有關聯,對航天、航空、航海、機械、石化、建筑、水利、動力、儀表、交通等工程設計,尤其具有指導意義。現今,經典的薄板殼線性理論已較成熟,并在各種工程設計中起著指導作用。然而,在薄板殼非線性領域和厚板殼線性領域,還有許多問題未被解決。文章介紹了這門學科發展歷史上的計算理論和計算方法。
　　關鍵詞：板殼；理論；方法
　　0引言
　　板殼結構分析是現代固體力學中特別引人注目的一個分支,近幾十年,隨著科學技術的突飛猛進,其發展異常迅速。這門學科幾乎與一切工程設計都有關聯,對航天、航空、航海、機械、石化、建筑、水利、動力、儀表、交通等工程設計，尤其具有指導意義[1]。
　　板殼是平板和殼體的總稱，是最常見的物體形式。其外形特點是厚度比其余兩個方向尺寸在數量級上小得多。平分物體厚度的分界面稱為中面。若中面是平面,則稱此物體為平板;若中面是曲面,則稱此物體為殼體。
　　板殼結構分析包括板殼靜力學和板殼動力學兩大部分。板殼靜力學是研究板殼在靜荷載作用下所產生的應力和變形,亦即通常所說的剛度、強度和穩定問題。通過分析計算,使板殼設計得既美觀大方,又安全經濟。板殼動力學是研究板殼在動荷載作用下結構的反應。其中一個重要問題是板殼的振動問題。
　　按照隸屬的理論范疇,當板殼彎曲變形時,若其撓度相對于厚度是小量,所建立的微分方程屬線性性質,則納入板殼線性理論范疇；反之,若撓度不是小量,所建立的微分方程屬非線性的,則納入板殼非線性理論范疇。
　　1板殼小撓度理論
　　1.1板殼小撓度理論的建立
　　板殼的形式千變萬化，組以它們的材料也是多種多樣，既有金屬，也有非金屬。要想找出它們受力特性的一般規律，首先就必須把復雜的現象加以簡化和概括，進行科學的抽象，抓住主要因素，撇開那些非本質的次要因素。經過長期的摸索，人們提出了些基本假設。在在薄板和薄殼的前提下，這些假設是[2]：
　　(1)假設板殼是均勻的、連續的，并且是各向同性的；
　　(2)假設板殼是線彈性的；
　　(3)假設板殼的變形是微小的；
　　(4)直法線假設；
　　(5)假設法向應力很小；
　　此外，對于薄板的小撓度問題，尚需增加下面一個假設：
　　(6)假設板的中面沒有變形。
　　板殼理論作為固體力學的一個重要分支[3]，其小撓度理論的建立、發展和成熟于十九世紀。從平板的撓曲微分方程和邊界條件的正確推導得到薄殼彎曲理論的建立，從雙重富里葉級數解法的提出到單三角級數解法的成功，標志著板殼小撓度問題已得到滿意的解決。
　　十九世紀，在求解板的小撓度問題上，成功地獲得解析解的只有納維葉的雙重富里葉級數解和李維的單三角級數解。嚴格說來，這兩個解也是近似的。但是，人們認為它們是經典的解析解，并以此作為基準去衡量檢驗其它解法的正確性。事實上，這兩個解的構思方式和所得結果確實是其它解法無法比擬的，它既易于實現邊界條件，又能以簡潔規則的顯式表示解的形式，將力學問題轉化為明了的級數求和計算。三角級數解法出現之后，人們曾考慮是否存在有比三角級數更有效更適用的其它函數去作為求解板殼問題的撓曲函數，一個多世紀中，他們廣泛地尋找了梁函數、振型函數、樣條函數、貝塞爾函數、冪級數和切比雪夫多項式等去實踐去驗證，結果是：最簡捷、最早成功的方法是最好、最有效的方法。
　　1.2線性理論的力學模型
　　梁與殼的力學模型與三維固體模型的主要區別[4]，在于三維固體力學認為每一個質點均有三個獨立的線位移，從而構成一個線位移矢量。但梁與殼則是簡化了的力學模型，一個位移矢量還不足以描述其彎曲變形。所以還對在梁中軸線或殼中面上的點額外引進了三個獨立的角位移，構成一個角位移矢量。在殼的理論中有不考慮剪切的Kirchhoff理論和考慮剪切的Mindlin理論。Kirckhoff理論認為原先垂直于中曲面的法線在變形后仍互垂，因此也就必然導出了殼的撓度與轉角間具有微分關系。反之，Mindlin理論否認這個互垂關系，也就導出了殼的撓度與轉角間是完全獨立的。在有限元方法沒有出現前，Timoshenko梁理論和Mindlin板殼理論并沒有得到重視與普及。但在有限元方法出現后，由于Timoshenko梁理論和Mindlin板殼理論的控制方程階數較低，更容易構造協調單元，所以得到了普遍的應用。顯然，Timoshenko梁理論和Mindlin板殼理論也不是精確的理論，他們都是引進了某種簡化假設使三維問題降階為一維或二維的理論。
　　2板殼大撓度理論
　　2.1板殼大撓度理論的建立和進展
　　板殼大撓度理論是由著名理論物理學家羅伯特•克希霍夫在正確解決了板的小撓度問題的基礎上于1877年首先提出來的。科學的產生和發展是由生產決定的，進入二十世紀，由于船舶、飛機和其它工程結構物上廣泛應用薄壁構件，促使人們對板殼非線性力學問題進一步研究。1902年，俄國造船工程師H•Γ•布勃諾夫在研究水壓力作用下船體外殼的強度計算時，將外殼視為狹長板條大撓度彎曲，獲得了非常實用的結果；1907年，A•虎勃將板中面應力作為應力函數，簡化了薄板大撓度一般方程；19l0年，Von•卡門在綜括前人各研究成果的基礎上，經多次實驗和推究，消除了要求板很薄的限制條件，導出了平板彎曲的大撓度非線性微分方程組，這就是二十世紀著名的“卡門方程”。至此，從1820年L•納維葉第一個提出滿意的平板彎曲理論到1910年Von•卡門建立板的大撓度微分方程，歷經近一個世紀科學家們的探索，終于奠定了板殼理論作為一門獨立學科的理論框架。
　　2.2求解卡門方程組的有關方法
　　板殼大撓度微分方程組的求解難度在于其方程中有幾項呈非線性，這種非線性是由其物理特征決定的。當板或殼受載彎曲，撓度大到與其厚度同數量級時，變形與受力的關系實質上是非線性的；當載荷大到使其處于過屈曲平衡時，非線性導致了實驗值與理論值之間的巨大差異。當年Von•卡門和錢學森發現了這個差異的原因是過屈曲平衡時變形對試件微小的初始缺陷極為敏感。這些非線性特征從數學和物理上決定了求解板殼大撓度問題解析解的困難性。正因為如此，卡門方程自建立以來，除個別的特定載荷、特定形狀在特定邊界條件下的精確解獲得成功外，一般情況的解答至今仍在探索之中。
　　五十年代，沃耳密爾把求取扁殼在各種邊界條件下彎曲問題的精確解列為柔韌殼理論發展上迫切需要解決的問題，時逾四十年，仍未見有突破性進展的報道。由于工程應用的需要，人們幾十年來對卡門方程的求解通常采用數值近似方法，慣常用的是逐步逼近法。雖然逼近迭代方式可多種多樣，但核心都圍繞兩點：一是忽略非線性項的影響去確定迭代初值，二是利用伽遼金法去確定所設函數的待定系數。
　　2.3近似非線性理論
　　由于梁板殼結構的幾何特征，其三個方向的長度相差甚大，固然帶來結構輕巧的優點，但也往往伴隨有巨大的變形。特別是當今新型結構中更為如此，例如：衛星天線、機器人手臂、飛機的機翼、汽車外殼等。雖然常規結構如房屋、橋梁等一般不允許產生大變形，但對一些重要建筑物在抗震設計時，要考慮到中震可修、大震不倒的原則，這就必須研究梁板殼結構在大變形時的力學特性。最早研究大變形問題的是VonKarman，他認為最能表征梁板殼大變形特征的是在變形時產生了較大的轉動(事實上還應考慮大曲率)，即θ=dv/dx的二次項是一個不容忽視的量，憑了他天才的直覺，他在殼的中面(梁的中軸線)線位移上又加了(dv/dx)2/2的非線性項。這一項通常稱之為VonKarman項，并將線性方程附帶有VonKarman非線性項的方程稱之為VonKarman方程。研究結果表明，近似理論及其所用的相應的計算方法具有明顯的缺點：
　　1)計算量巨大；
　　2)不適合動力問題的求解；
　　3)不適合具有結構穩定、屈曲、分岔問題；
　　4)由于計算步長小，并不斷進行位形更新，增加許多中間環節的計算，使計算誤差積累，降低了計算精度。
　　應該指出VonKarman方程這一類方程及相應的求解方法幾乎整整統治了20世紀．但20世紀是三維固體有限變形理論成熟的年代，這給梁板殼的有限變形理論的出現創造了極為有利的條件。
　　3板殼結構的近似計算方法
　　3.1李茲法
　　李茲法又稱為能量法，是常用的近似解法之一。此法的核心就是在精確滿足位移邊界條件后，對撓度曲面的微分方程的滿足給以放松，從而得到問題的近似解。它是從能量的角度來討論板的平衡問題，所依據的原理就是最小勢能原理，即在給定的外力作用下，在滿足位移邊界條件的所有各組位移中間，真正的一組位移(即同時滿足平衡方程和邊界條件)應使總勢能成為最小值，即形變勢能和外力勢能之和成為最小值。
　　3.2伽遼金法
　　伽遼金法與李茲法一樣，也是在精確滿足邊界條件的基礎上，近似地去滿足撓度曲面的微分方程。不同點有兩個：第一，它預先所滿足的邊界條件不僅包括位移邊界條件，而且也包括靜力邊界條件；第二，不需要計算板的勢能。
　　伽遼金法所依據的基本原理是虛位移原理，即一個平衡系統的力對于任意假想的位移做的功等于零。在板的小撓度彎曲理論中，()就是平衡系統的力，就是任意假想的位移即虛位移。依據這一原理，就有
　　(1)
　　如果是撓度曲面微分方程的精確解，則它精確滿足上面的方程。
　　3.3有限差分法
　　所謂有限差分方法就是用一組有限差分方程代替微分方程和相應的邊界條件的一種數值解法。它使難于求解的微分方程的邊值問題轉化為易于求解的代數方程組問題。因此，它具有重要的實際意義，應用十分廣泛。在計算機迅速發展的今天，此法更是如虎添翼，有了更大的發展前途。
　　有限差分法的優點是方法簡單，重復使用晶格模型易于建立差分方程。即使對于曲線形狀板，解法仍然有效，只是邊界處理稍為復雜一些，但原理仍相同。此法的缺點是要解數量較大的方程組才能獲得工程上滿意的解答。不過，在計算機廣泛使用的今天，這一缺點已逐漸被克服。
　　3.4有限無法
　　有限元法是求解工程和物理問題的一種新的有效數值方法，它在板殼力學中已得到了廣泛的應用。有限無法避開問題的微分方程，直接將板殼離散后來求數值解。有限元法的優點是物理概念清晰，數學難度較小，初學者易于掌握，且適用范圍大，能處理其它方法感到棘手的問題。電子計算機的飛躍發展給有限無法帶來了更大的生命力。力學工作者過去不敢碰的計算難題己迎刃而解。目前，有限元法仍在繼續不斷地向前發展。
　　有限元法包括位移法、力法和混合法三種。薄板的有限元法的基本思想就是將原來的薄板分割成為有限個小板即單元，然后對每一個小板進行單元分析，最后再重新組合起來成為原來的板。
　　4結論
　　人類已經進入21世紀,世界正面臨一場新的技術革命。現代工業、現代國防和現代科技的更大發展,將對板殼結構分析提出更多和更高的要求。顯然,目前的理論與方法不能滿足這些要求。因此,緊密結合工程需要,推動我國板殼結構分析與應用事業繼續向前發展是一項重要任務。
　　參考文獻:
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