現實世界中大量存在“亦此亦彼”處于中介過渡狀態的模糊現象,它所導致的認識和判決過程中的不確定性,就是模糊性。模糊性是人類思維和客觀事物普遍存在的屬性之一。
　　在數學和哲學領域里,不分明或模糊邏輯已有長久的歷史。當人們發現,并非所有的邏輯判斷陳述句均為同樣程度的“真”或“假”時,模糊邏輯研究就開始了。1965年,美國加州柏克萊大學的扎德(L.A.Zadeh)教授發表了里程碑性的論文“模糊集合”。在這篇論文中,他第一次用“模糊”(fuzzy)這個詞來表示技術文獻中的“不分明”(vague),并提出當且僅當一個集合破壞了排中律和矛盾律時,該集合為模糊集合,從而把經典集合與多值邏輯融為一體,創立了模糊集合論,由此形成了基于模糊集合論的一門新的學科———模糊系統理論。1972年,扎德提出了用模糊語言進行系統描述的方法,為模糊控制的實施提供了有效手段。二十世紀八十年代中后期以來,日本和其它一些發達國家興起了一股研究模糊技術的熱潮,特別是在日本,采用模糊控制技術的家用電器產品大量涌現,倍受用戶青睞。同時,模糊技術在地鐵機車、機器人、過程控制、醫療以及故障診斷、語音和圖象識別等領域的應用,也獲得了成功論文。
　　在機械設計中也存在大量的模糊信息,如機械零部件設計中,零件的安全系數常常從保守觀點出發,取較大值而不經濟,但在其允許的范圍內存在著很大的模糊區間;機械制造中加工變量v、f、ap的選取,其允許值和實際選取的值也存在一模糊區間,在這些區間里取值與允許值并無多大差別。但區間內往往含有豐富的工藝參數信息,并有可能獲得意想不到的結果。如:材料的厚度約為2cm,沖擊力約為8t,零件底部圓角半徑為5～6mm等等。傳統設計模型是先把模糊信息進行一定的簡化,即把模糊信息變成非模糊信息,然后再進行加工。這種設計模型未能有效描述這些信息,也不能直接利用這些信息去進行設計計算。因此在機械設計中引入模糊是很有必要的。
　　一、模糊數學基礎1.模糊集合及其表示方法論域U上的一個模糊集合A是指,對于Pu∈U,都指定了一個數μA(u)∈[0,1]與之對應,它叫作u對A的隸屬度(degreeofmembership)。這意味著定義了一個映射μA:
　　μA:U→[0,1],uαμA(u)該映射稱為A的隸屬函數(membershipfunction),或集函數(setfunction)。在給定的論域U上,可以有多個模糊集合。設U上模糊集合的全體為F(U),則:F(U)={A|μA:U→[0,1]}
　　正如普通集合完全由特征函數所刻畫一樣,模糊集合也完全由隸屬函數所刻畫。μA(u)的值越接近于1,u就越屬于A;反之,μA(u)的值越接近于0,u就越不屬于A。當μA(u)的值域僅為{0,1}時,模糊集合A就蛻化為一個普通集合,μA(u)也就演化為特征函數。因此,普通集合是模糊集合的特例,模糊集合是普通集合的推廣。
　　為了簡便,可以將模糊集合A本身看作隸屬函數μA,即:
　　A(u)=μA(u),Pu∈U對于U上模糊集合A,隸屬函數為μA(u),常見的表示方法有序偶法、Zadeh法和向量法論文。
　　隸屬函數是模糊集合論賴以建立的基石,合理地確定出模糊集的隸屬函數,對于較準確地描述和表達模糊概念是重要的。目前,建立隸屬函數常用的方法有模糊統計法、二元對比排序法、經驗權重法等,此外常常選擇一些典型的模糊分布,去逼近所研究的模糊集合的隸屬函數。所謂模糊分布,是指以實數域R為論域的隸屬函數。最常見的幾種模糊分布形態為三角型、正態型和梯型。均勻分布的隸屬函數稱為線性隸屬函數,不均勻分布時稱為非線性隸屬函數。
　　2.模糊集合的運算與普通集合類似,模糊集合也有相等以及包含、交、并、補運算。兩個模糊子集間的運算,就是逐點對隸屬函數做相應的邏輯運算。設A,B∈F(U),如果對于Pu∈U,均有:
　　(1)μA(u)=μB(u)則稱A和B相等,記為A=B,即:
　　A=BZμA(u)=μB(u)(2)μA(u)≤μB(u)則稱B包含A,或A是B的子集,記為AAB,即:
　　AABZμA(u)≤μB(u)并且分別稱A∪B,A∩B為A與B的并集、交集,稱為Ac為A的補集或余集,其隸屬函數分別為:
　　Ac:μAc(u)=1-μA(u),Pu∈UA∪B:μA∪B(u)=max{μA(u),μB(u)}=μA(u)∨μB(u),Pu∈UA∩B:μA∩B(u)=min{μA(u),μB(u)}=μA(u)∧μB(u),Pu∈U上述運算是由扎德沿用經典邏輯的方法定義的,稱“∨”、“∧”為Zadeh算子,由此得到的模糊集合的包含、交、并、補運算,稱為模糊集的基本運算。
　　為了使模糊集合適合各種不同的模糊現象,人們還相繼提出了不少與“∨”、“∧”相對應的二元運算,這些運算統稱為模糊算子。表1列出了常用的幾種模糊算子對。
　　表中:a∨b=max(a,b),a∧b=min(a,b),a•b=ab(普通乘法),a+∧b=a+b-ab,aε+b=a+b1+ab,aε&b=ab1+(1-a)(1-b),a?b=min(a+b,1),a⊙b=max(0,a+b-1)aγ+ba+∧b-(1-γ)abγ+(1-γ)(1-ab),aγ&b=abγ+(1-γ)(a+∧b),γ∈[0,1]
　　這些算子各有優缺點,可根據具體問題的特性選擇使用。綜上所述,模糊集合A、B的并、交運算的一般形式為:
　　A∪B:μAYB(u)=μA(u)∨3μB(u),Pu∈UA∩B:μAIB(u)=μA(u)∧3μB(u),Pu∈U式中∨3、∧3是[0,1]上的二元運算,分別稱為并型(OR)運算和交型(AND)運算。實際應用中,早期人們多采用扎德算子“∨”、“∧”,近來更多地采用了乘法、加法和除法運算算子。
　　二、機械設計中的模糊問題機械產品的開發一般要經過產品規劃、方案設計、技術設計、施工設計、產品鑒定等階段,在各階段常會遇到各種模糊問題,雖然這些問題的特點、性質及對計策的要求不盡相同,但所采取的模糊分析方法是相似的,因此僅以技術設計中參數確定為例說明模糊數學在機械設計中的應用。
　　機械設計時必須從已給出的參數取值的一般原則和可行范圍中綜合評判出一個合適的數值。如安全系數的確定、帶傳動中心距的確定、齒輪傳動齒寬系數的選擇等。
　　例如已知某軸承承受徑向力Fr=2000N,軸向力Fa=500N,有輕度沖擊,軸速n=1450r/min,軸剛度較大,對噪音無特別要求,預期壽命15000h,軸徑d=40mm,試選擇軸承類型。
　　Step1:確定模糊集滿足設計要求的軸承有0類、1類、3類、6類、7類。由于軸剛度較大,對調心性要求不高,所以不考慮1、3類軸承。軸承直徑系列代號均選2(輕系列)。經軸承壽命計算,三種軸承均滿足壽命要求,因此確定了論域U={u1,u2,u3},其中u1、u2、u3對應的型號分別為208、36208、7208。
　　Step2:確定評價因素假設在論域U上有6個因素對軸承類型的選擇有影響。即{u1,u2,u3,u4,u5,u6}={承受徑向載荷的能力,承受軸向載荷的能力,轉速性能,承受沖擊的能力,噪聲大小,壽命}。
　　Step3:確定隸屬度根據6個因素,確定u1、u2、u3的隸屬度函數。將6個因素分為優、良、中、差四等,如表2所示,據此確定隸屬度。
　　Step4:根據對軸承的要求,作出評判根據對軸承的要求,對每個因素的隸屬度函數賦予不同的權值,計算u1、u2、u3的隸屬度,最后根據最大隸屬度原則,應優先選用36208軸承。
　　三、結束語
　　以上論述的模糊綜合評判的基本原理和方法,是決策思維過程的一種數學描述。其最大特點是,可以將各因素對設計結果的影響進行全面定量地分析,得出綜合的數量化指標,作為選擇決斷的依據,對原來完全憑經驗作出的決策提供了科學的方法。用模糊綜合評判理論進行多因素的決斷,人的主觀因素占有一定的比重,如權重和隸屬度的確定、因素的篩選,最好建立專家系統,將模糊推理與專家系統相結合。
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