摘 要 任何周期性函數(shù)都可以表示為三角函數(shù)所構(gòu)成的級數(shù)之和。將方波或三角波通過RLC串聯(lián)諧振回路分解為基波及各諧波的迭加，并用示波器顯示基波和各次諧波的相對振幅和相對相位。也可以利用加法器將一組可調(diào)振幅和相位的正弦波信號合成為方波或三角波。

　　關(guān)鍵詞 高工論文發(fā)表,傅立葉分解與合成,諧波,諧振回路

　　1 周期函數(shù)的傅立葉分析

　　任何周期為( = )的函數(shù)()都可以表示為：

　　() = + ( + )

　　將周期函數(shù)()按上式展開，其物理意義是把一個比較復(fù)雜的周期運(yùn)動看成許多不同頻率的簡諧振動的疊加。在電工學(xué)上，這種展開稱為諧波分析。其中，第一項(xiàng)稱為()的直流分量，為角頻率，( + )稱為一次諧波，又叫做基波，而(2 + )，(3 + )等依次稱為二次諧波，三次諧波。所謂周期性函數(shù)的傅立葉分解就是將周期性函數(shù)展開成直流分量，基波和所有階諧波的迭加。例如，方波函數(shù)

　　數(shù)學(xué)上可以證明此方波表示為：

　　() = ( + 3 + 5 + 7 + ……) = ()[()]

　　由上式中可知，方波由一系列正弦波(奇函數(shù))合成，沒有常數(shù)項(xiàng)。這一系列正弦波振幅為1：：：，它們的初相位同相。

　　2 周期性波形傅立葉分解的選頻電路

　　我們用RLC串聯(lián)諧振電路作為選頻電路，對方波或三角波進(jìn)行頻譜分解。然后在示波器上顯示這些被分解的波形，測量它們的相對振幅。我們還可以用一參考正弦波與被分解出的波形構(gòu)成李薩如圖形，確定基波與各次諧波的初相位關(guān)系。實(shí)驗(yàn)原理如圖1所示：

　　圖1 波形分解的RLC串聯(lián)電路

　　這是一個簡單的RLC電路，其中、是可變的。一般取0.1H ～1H的范圍。在選頻電路中輸入一正弦信號，當(dāng)輸入信號的角頻率等于電路的諧振角頻率(諧振角頻率)時，此時通過電路的電流幅值最大，因而，電路中兩端的電壓幅值也最大，對于不同頻率的正弦輸入信號，可改變電路的值，即改變電路的諧振來獲得諧振。因此當(dāng)方波輸入RLC串聯(lián)電路時，只要逐步改變值，即可將其中不同頻率的簡諧波成分選擇出來。RLC串聯(lián)電路的頻帶寬度可用品質(zhì)因數(shù)值來表示： = 。式中，為電感的損耗電阻，它的值與通過電流的頻率有關(guān)。值越大，諧振曲線越尖，選頻性能越好，所以實(shí)驗(yàn)中我們應(yīng)該選擇值足夠大，大到足夠?qū)⒒�波與各次諧波分離出來。如果我們調(diào)節(jié)可變電容，在頻率諧振，將從方波信號中選擇出第次諧波。它的值為：() = 。這時電阻兩端電壓為：() = ( + )。

　　此式中 = = 0(為串聯(lián)電路感抗和容抗之和;在諧振狀態(tài)時 = 0)。 = ，為電路中電流的幅值，為串聯(lián)電路的總阻抗。所以

　　() = () (1)

　　此時，阻抗 = + + + = + + 。其中，為方波或三角波電源的內(nèi)阻;為取樣電阻;為電感的損耗電阻;為標(biāo)準(zhǔn)電容的損耗電阻(值常因較小而忽略)。

　　由于電感用良導(dǎo)體纏繞而成，由于趨膚效應(yīng)，電感阻值隨頻率的增加而增加。總阻抗也隨之增加，取樣電阻上的輸出幅值不再與次諧波的幅值成正比。為消除此系統(tǒng)誤差，我們要對各次諧波振幅的測量值進(jìn)行校正。設(shè)基波下的電壓輸出幅值為，電感的損耗電阻為，總阻值 = + + ，第次諧波下的電壓輸出幅值為，電感的損耗電阻為，總阻值 = + + ，則由(1)式得：

　　(2)

　　從(2)式中解出次諧波的幅值與基波幅值之比為：

　　因此校正后的電壓值為

　　(3)

　　3 實(shí)驗(yàn)過程及結(jié)果觀察

　　3.1 方波的傅立葉分解

　　(1)計(jì)算RLC串聯(lián)電路對1KHz，3KHz，5KHz正弦波諧振時的電容值C1C3C5的理論值。由諧振角頻率和 = 2，可計(jì)算 = 。

　　(2)連接線路，按圖2接好線路。取樣電阻R上的電壓信號輸入到示波器CH2(Y)通道上，選擇CH2(Y)通道適當(dāng)?shù)钠�轉(zhuǎn)因數(shù)(volts/div)，適當(dāng)?shù)乃�平掃描速�?sec/div)，逐步改變電容值，可在示波器上觀察到諧振狀態(tài)時R兩端的各諧波信號為正弦波。

　　圖2 方波信號傅立葉分解接線示意圖

　　(3)將傅立葉分解合成儀1kHz參考正弦信號輸入到示波器CH1(X)通道，掃描速率(sec/div)旋鈕置于X-Y(逆時針旋到底)，與分解出的信號(在示波器Y通道)可構(gòu)成李薩如圖形。

　　3.2 方波的傅立葉級數(shù)合成

　　(1)將1KHz正弦波(直接而不經(jīng)加法器)輸入示波器CH1(X)通道，而CH2(Y)通道分別輸入1KHz、3KHz、5KHz、7KHz正弦波，掃描速率(sec/div)旋鈕置于X-Y(逆時針旋到底)，調(diào)節(jié)3KHz、5KHz、7KHz各諧波的相位，使之與1kHz的諧波同相，再觀察其他倍頻信號與參考信號的相位關(guān)系，見圖3。

　　圖3 基波和各諧波同相時合成的李薩如圖形

　　(2)調(diào)節(jié)1KHz、3KHz、5KHz、7KHz正弦波振幅比為1：：：。(3)將1KHz、3KHz、5KHz、7KHz正弦波逐次輸入加法器，觀察合成波形變化，可以看到：(1)合成的方波振幅與它的基波振幅比為1：;(2)基波上迭加諧波越多，越趨近于方波。(3)迭加諧波越多，合成方波前沿、后沿越陡直。

　　參考文獻(xiàn)

　　[1] 曾陽琳，唐孟希.用實(shí)驗(yàn)觀察周期函數(shù)的傅里葉分解[J].物理實(shí)驗(yàn)，2001(1).

　　[2] 沈元華等.基礎(chǔ)物理實(shí)驗(yàn)[M].高等教育出版社，2003.