金融數(shù)學(xué)是一門新興學(xué)科，是“金融高技術(shù)”的重要組成部分。金融數(shù)學(xué)的研究目標(biāo)是利用數(shù)學(xué)在某些方面的優(yōu)勢(shì)，圍繞金融市場(chǎng)存在的問(wèn)題，通過(guò)建立模型模擬為實(shí)際金融部門提供較深入的技術(shù)分析咨詢，從而解決金融行業(yè)實(shí)際運(yùn)行中存在的問(wèn)題。隨著社會(huì)經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，特別是金融在經(jīng)濟(jì)中的地位越來(lái)越重要，金融數(shù)學(xué)相關(guān)理論也得到突飛猛進(jìn)的發(fā)展，為解決金融實(shí)踐中的問(wèn)題發(fā)揮日益重要的作用，本文將就金融數(shù)學(xué)的相關(guān)理論及現(xiàn)實(shí)應(yīng)用進(jìn)行論述。

　　《金融經(jīng)濟(jì)學(xué)研究》經(jīng)濟(jì)師職稱發(fā)表，創(chuàng)刊于1986年，其原名為《廣州金融專科學(xué)校學(xué)報(bào)》;1998年更名為《廣州金融高等專科學(xué)校學(xué)報(bào)》;2005年因本校升本而更名為《廣東金融學(xué)院學(xué)報(bào)》;經(jīng)新聞出版總署批準(zhǔn)(新出審字(2012)657號(hào))，從2013年起更名為《金融經(jīng)濟(jì)學(xué)研究》。

　　一、金融數(shù)學(xué)的定義

　　金融數(shù)學(xué)或數(shù)學(xué)金融學(xué)亦或數(shù)理金融學(xué)都是由mathematicalfinance翻譯而來(lái)，可以理解為是以數(shù)學(xué)為工具解決金融問(wèn)題的學(xué)科。金融數(shù)學(xué)是通過(guò)建立適合金融行業(yè)具體實(shí)情的數(shù)學(xué)模型，編寫一定的計(jì)算機(jī)軟件，對(duì)理論研究結(jié)果進(jìn)行仿真計(jì)算，對(duì)實(shí)際數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)量經(jīng)濟(jì)分析研究的一門應(yīng)用學(xué)科。

　　金融數(shù)學(xué)的最大特點(diǎn)是大量應(yīng)用現(xiàn)代數(shù)學(xué)工具，特別是伴隨著控制理論和隨機(jī)過(guò)程的研究成果在金融領(lǐng)域中的創(chuàng)造性應(yīng)用，金融數(shù)學(xué)——一門新興的邊緣學(xué)科應(yīng)運(yùn)而生，國(guó)際上也稱數(shù)理金融(Mathe--matical Finance)。金融數(shù)學(xué)起源于金融問(wèn)題的研究。隨著金融市場(chǎng)的發(fā)展，金融學(xué)越來(lái)越與數(shù)學(xué)緊密相連，取得了突飛猛進(jìn)的發(fā)展。

　　廣義來(lái)說(shuō)，金融數(shù)學(xué)是指應(yīng)用數(shù)學(xué)理論和方法，研究金融經(jīng)濟(jì)運(yùn)行規(guī)律的一門新興學(xué)科，狹義的來(lái)講，金融數(shù)學(xué)的主要研究?jī)?nèi)容是關(guān)于在不確定多期條件下的證券組合選擇和資產(chǎn)定價(jià)理論，而套利、最優(yōu)和均衡則是這一理論中最重要的三個(gè)概念。

　　金融數(shù)學(xué)從一些金融或者經(jīng)濟(jì)假設(shè)出發(fā)，用抽象的數(shù)學(xué)方法，建立金融機(jī)理的數(shù)學(xué)橫型。金融數(shù)學(xué)的范圍包括數(shù)學(xué)概念和方法(或者其他自然科學(xué)方法)在金融學(xué)、特別足在金融理論中的各種應(yīng)用，應(yīng)用的目的是用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言來(lái)表達(dá)、推理和論證金融學(xué)原理。金融數(shù)學(xué)是金融學(xué)的一個(gè)分支，因此金融數(shù)學(xué)首先以金融理論為背景和基礎(chǔ)，這倒并不意味著從事金融數(shù)學(xué)一定要受過(guò)金融方面的正規(guī)的學(xué)術(shù)性訓(xùn)練(這確實(shí)大有益處)。盡管金融學(xué)由于具有自己充足的特征而從經(jīng)濟(jì)學(xué)中獨(dú)立出來(lái)，但它畢竟是作為經(jīng)濟(jì)學(xué)的應(yīng)用分支學(xué)科發(fā)展起來(lái)的，因此金融數(shù)學(xué)也以經(jīng)濟(jì)原理和技術(shù)為基礎(chǔ)和背景。由于金融還同會(huì)計(jì)學(xué)、財(cái)務(wù)學(xué)、稅務(wù)理論等有密切的聯(lián)系，金融數(shù)學(xué)還需要以會(huì)計(jì)原理、財(cái)務(wù)技術(shù)、稅收理論等方面的知識(shí)為基礎(chǔ)。

　　金融數(shù)學(xué)的理論基礎(chǔ)當(dāng)然還包括現(xiàn)代數(shù)學(xué)理論和統(tǒng)計(jì)學(xué)理論，其首要環(huán)節(jié)是數(shù)學(xué)或統(tǒng)計(jì)建模，也就是從復(fù)雜的金融環(huán)境中篩選出關(guān)鍵因素以分辨出相關(guān)因素與無(wú)關(guān)因素，然后從一系列的假設(shè)條件出發(fā)，推導(dǎo)出各種關(guān)系，最后得到結(jié)論對(duì)作出對(duì)結(jié)論的解釋。這種建模活動(dòng)不僅非常有用而且極為重要，因?yàn)樵诮鹑谥校�假設(shè)中一個(gè)小的失誤、一個(gè)錯(cuò)誤的推導(dǎo)、一個(gè)有誤的結(jié)論、或者一個(gè)對(duì)結(jié)論的錯(cuò)誤解釋甚至都會(huì)導(dǎo)致一次金融的災(zāi)難。此外，在金融數(shù)學(xué)的研究中計(jì)算機(jī)技術(shù)的應(yīng)用也具有十分突出的位置。

　　綜上可見(jiàn)，金融數(shù)學(xué)是金融學(xué)、數(shù)學(xué)、統(tǒng)計(jì)學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)的交叉學(xué)科，屬于應(yīng)用科學(xué)層次。金融數(shù)學(xué)也是金融學(xué)繼定性描述階段以后的一個(gè)更高層次的數(shù)量化的分析性學(xué)科。

　　二、現(xiàn)代金融數(shù)學(xué)理論的發(fā)展

　　1　隨機(jī)最優(yōu)控制理論

　　現(xiàn)代金融理論一個(gè)更值得重視的應(yīng)用領(lǐng)域是解決帶有隨機(jī)性的問(wèn)題，解決這個(gè)問(wèn)題的重要手段是隨機(jī)最優(yōu)控制理論。隨機(jī)最優(yōu)控制是控制理論中在相當(dāng)晚時(shí)期得到發(fā)展的。應(yīng)用貝爾曼最優(yōu)化原理，并用測(cè)度理論和泛函分析方法，是數(shù)學(xué)家們?cè)诒臼兰o(jì)60年代末和70年代初對(duì)于這一新的數(shù)學(xué)研究領(lǐng)域作出的重要貢獻(xiàn)。金融學(xué)家們對(duì)于隨機(jī)最優(yōu)控制的理論方法的吸收是十分迅速的。70年代初開(kāi)始出現(xiàn)了幾篇經(jīng)濟(jì)學(xué)論文，其中有默頓(Merton)使用連續(xù)時(shí)間方法論述消費(fèi)和資產(chǎn)組合的問(wèn)題，有布羅克(Brock)和米爾曼(Mirman)在不確定情況下使用離散時(shí)間方法進(jìn)行的經(jīng)濟(jì)最優(yōu)增長(zhǎng)問(wèn)題。從此以后，隨機(jī)最優(yōu)控制方法應(yīng)用到大多數(shù)的金融領(lǐng)域，在國(guó)內(nèi)以彭實(shí)戈為代表的中青年學(xué)者對(duì)此也做出了卓越貢獻(xiàn)。

　　2　鞅理論

　　現(xiàn)代金融理論最新的研究成果是鞅理論的引入。在金融市場(chǎng)是有效的假定F，證券的價(jià)格可以等價(jià)于一個(gè)鞅隨機(jī)過(guò)程。由Karatzas和Shreve等人倡導(dǎo)的鞅方法直接把鞅理論引入到現(xiàn)代金融理論中，利用等價(jià)鞅測(cè)度的概念研究衍生證券的定價(jià)問(wèn)題，得到的結(jié)果不僅能深刻揭示金融市場(chǎng)的運(yùn)行規(guī)律，而且可以提供一套有效的算法，求解復(fù)雜的衍生金融產(chǎn)品的定價(jià)與風(fēng)險(xiǎn)管理問(wèn)題。利用鞅理論研究金融理論的另一個(gè)好處是它能夠較好地解決金融市場(chǎng)不完備時(shí)的衍生證券定價(jià)問(wèn)題，從而使現(xiàn)代金融理論取得了突破性的進(jìn)展。目前基于鞅方法的衍生證券定價(jià)理論在現(xiàn)代金融理論中占主導(dǎo)地位，但在國(guó)內(nèi)還是一個(gè)空白。

　　3　脈沖最優(yōu)控制理論

　　在證券投資決策問(wèn)題中，大部分的研究假設(shè)交易速率是有界的和連續(xù)變化的，而實(shí)際上投資者的交易速率不是有界的，也不是頻繁改變的。因此，用連續(xù)時(shí)間隨機(jī)控制理論來(lái)研究，僅僅是一種近似，使得問(wèn)題變得更容易處理，但是事實(shí)上往往與實(shí)際問(wèn)題有較大的距離。因此，若用脈沖最優(yōu)控制方法研究證券投資決策問(wèn)題看似更為合適。

　　4　微分對(duì)策理論

　　現(xiàn)代金融理論的另一個(gè)值得注意的研究動(dòng)向是運(yùn)用微分對(duì)策方法研究期權(quán)定價(jià)問(wèn)題和投資決策問(wèn)題，目前取得了一定的成果。當(dāng)金融市場(chǎng)不滿足穩(wěn)態(tài)假定或出現(xiàn)異常波動(dòng)時(shí)，證券價(jià)格往往不服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)，這時(shí)用隨機(jī)動(dòng)態(tài)模型研究證券投資決策問(wèn)題的方法無(wú)論從理論上，還是從實(shí)際上都存在著較大偏差。用微分對(duì)策方法研究金融決策問(wèn)題可以放松這一假設(shè)，把不確定擾動(dòng)假想成敵對(duì)的一方。針對(duì)最差情況加以優(yōu)化，可以得到“魯棒性”很強(qiáng)的投資策略。另外，求解微分對(duì)策的貝爾曼方程是一階偏微分方程，比求解隨機(jī)控制問(wèn)題的二階偏微分方程要簡(jiǎn)單得多。因此，運(yùn)用微分對(duì)策方法研究金融問(wèn)題具有廣闊的應(yīng)用前景，對(duì)重復(fù)對(duì)策、隨機(jī)對(duì)策、多人對(duì)策理論在證券投資決策問(wèn)題中的應(yīng)用研究更加值得重視的研究課題。

　　三、金融數(shù)學(xué)理論的應(yīng)用

　　金融數(shù)學(xué)研究的一項(xiàng)重要任務(wù)就是檢驗(yàn)什么類型的數(shù)學(xué)理論適合于運(yùn)用在金融理論中以及預(yù)算新的數(shù)學(xué)理論應(yīng)用于金融領(lǐng)域的可能性。金融系統(tǒng)的本質(zhì)特性與經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)是一致的，即經(jīng)濟(jì)利益它在很大程度上決定著金融實(shí)體的行為。能夠描述或者表征著本質(zhì)特征的數(shù)學(xué)理論與方法就會(huì)得到充分的應(yīng)用，而不能描述或表征著本質(zhì)特征的數(shù)學(xué)理論與方法將逐漸被“揚(yáng)棄”或者淘汰;如果數(shù)學(xué)武器庫(kù)中尚沒(méi)有這類武器的話，數(shù)學(xué)家們就會(huì)同金融學(xué)家一道去發(fā)展這類武器以滿足金融領(lǐng)域的需要。長(zhǎng)期以來(lái)，人們用以描述金融經(jīng)濟(jì)的數(shù)學(xué)模型從本質(zhì)上來(lái)說(shuō)只有兩類：一類是牛頓(Newton)的決定論模型，即給定初始條件或者狀態(tài)，則金融經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的行為完全確定，第二類是愛(ài)因斯坦(Einstein)的隨機(jī)游動(dòng)模型或者布朗(Bro~vn)g：動(dòng)模型。 簡(jiǎn)單地說(shuō)，即確定性模型和隨機(jī)性模型。確定性狀態(tài)和隨機(jī)性狀態(tài)也被認(rèn)為是兩種對(duì)稱的狀態(tài)。

　　同時(shí)，所用模型的數(shù)學(xué)形式也基本上是線性的，或者存在非線性也是假設(shè)金融系統(tǒng)運(yùn)行在線性穩(wěn)定而加以一階線性化處理，這些似乎成了一種傳統(tǒng)和定式。尤其是近30多年來(lái)，金融界已分成兩派。一派是技術(shù)分析學(xué)者，相信市場(chǎng)遵從有規(guī)律的周期性循環(huán);而另一派即定量分析學(xué)者則認(rèn)為市場(chǎng)不存在周期性循環(huán)。最近的研究利用物理學(xué)中開(kāi)發(fā)出的方法來(lái)分析非線性系統(tǒng)，認(rèn)為真實(shí)情況介于兩者之間。這樣，金融數(shù)學(xué)至少面臨下列四個(gè)問(wèn)題亟待解決：

　　首先，對(duì)金融經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象的變與動(dòng)的直覺(jué)三性(隨機(jī)性，模糊性，混沌性)進(jìn)行綜合分析研究，已確定從此到彼得過(guò)渡條件、轉(zhuǎn)換機(jī)理、演變過(guò)程、本質(zhì)特征、產(chǎn)生結(jié)果以及人們所采取的相應(yīng)的金融對(duì)策，尤其是貨幣政策。

　　其次，對(duì)以信用貨幣為核心的三量：貨幣需求量、貨幣共給量、金融資金流向流量進(jìn)行綜合分析研究，對(duì)貨幣均衡和非均衡的合理界定提供正確的金融理論以及數(shù)學(xué)模型，為改善社會(huì)總量平衡關(guān)系將對(duì)財(cái)政、金融、物質(zhì)、外匯四大平衡提供依據(jù)。

　　再次，對(duì)支撐現(xiàn)代金融大廈的三大支柱即三率(利率、匯率、保率、擴(kuò)至經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域還包含稅率、物價(jià)綜合指數(shù))進(jìn)行綜合分析研究。為制定合理的三(五)率體系提供符合實(shí)際的金融數(shù)學(xué)模型支撐。最后，對(duì)分別以生產(chǎn)力要素選擇、地區(qū)或部門資源配置、綜合金融經(jīng)濟(jì)指標(biāo)為研究對(duì)象的三觀(微觀、中觀、宏觀)進(jìn)行綜合分析研究，以便將其成果更充分地更廣泛地更方便地應(yīng)用于金融經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域。隨著社會(huì)經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，特別是現(xiàn)代金融的地位越來(lái)越重要，將會(huì)有更新的更復(fù)雜的金融問(wèn)題需要我們?nèi)パ芯浚�去探討，去解決。

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