摘要：PUSHOVER方法是基于性能/位移設計理論的一種等效靜力彈塑性近似計算方法，該方法彌補了傳統的基于承載力設計方法無法估計結構進入塑性階段的缺陷，在計算結果相對準確的基礎上，改善了動力時程分析方法技術復雜、計算工作量大、處理結果繁瑣，又受地震波的不確定性、軸力和彎矩的屈服關系等因素影響的情況，能夠非常簡捷的求出結構非彈性效應、局部破壞機制、和整體倒塌的形成方式，便于進一步對舊建筑的抗震鑒定和加固，對新建筑的抗震性能評估以及設計方案進行修正等。PUSHOVER方法以其概念明確、計算簡單、能夠圖形化表達結構的抗震需求和性能等特點，正逐漸受到研究和設計人員的重視和推廣。目前，國內外論述PUSHOVER方法的文章已經很多，但大部分是針對某一方面的論述。為了給讀者一個比較快速全面的認識，本文在綜合大量文獻的基礎上，對PUSHOVER方法的基本原理、分析步驟、等效體系的建立、側向荷載的分布形式等方面做了比較全面的論述。
　　關鍵詞：基于性能抗震設計；靜力彈塑性分析；動力時程分析方法；恢復力模型；目標位移
　　1前言
　　結構分析方法基本可以分為彈性方法和彈塑性方法。按對地震得不同處理方式，又分為等效靜力分析與動力時程分析。一般來說動力彈塑性時程分析方法能較真實地模擬地震作用過程，但是，由于計算工作量巨大，地震波的不確定性等因素的影響，此方法尚處于科研階段，在短期內做到實用化非常困難。自20世紀90年代美國學者提出基于性能設計的抗震設計思想以來，PUSHOVER方法由于其簡單方便以及對結構特性的良好表現性，很快成為各國學者積極討論廣泛研究的焦點之一。經過十幾年的研究，已經取得了較大發展，并且得到了美國的SEAOCVision2000，ATC–33，ATC–34，ATC–40，FEMA273，FEMA274[1-3]；歐洲的Eurocode8和日本的BuildingStandardLawofJapan等規范或規程的認可，我國也將這種方法引入了《建筑抗震設計規范》（GB50011-2001）。在反應譜的基礎上建立的靜力彈塑性分析方法主要有：N2方法，ATC-40推薦的能力譜方法[4]，FEMA-273推薦的位移影響系數法，改進能力譜方法[2]，Chopra改進能力譜方法[5]，適應譜法[6]，概率PUSHOVER分析方法[7]，靜動力綜合法[8]等。另外，還有很多學者針對這一方法的適用范圍、影響因素作了深入探討和研究，但是他們大多是針對某一方面，使對這方面有興趣的讀者感到凌亂，沒有頭緒，所以有必要對PUSHOVER方法的基本原理、分析步驟、適用范圍、優缺點等作全面的論述。
　　2基本原理與分析步驟
　　2.1PUSHOVER方法的基本原理
　　靜力彈塑性分析方法主要用于確定結構的非彈性效應、局部破壞機制、和整體倒塌的形成方式。因此該方法可以用于舊建筑的抗震鑒定和加固，以及新建筑的設計和抗震性能評估。這種方法的基本原理是：首先利用由反應譜換算得到的代表抗震需求的需求譜和體現結構自身性能的能力譜得到結構在可能地震作用下所對應的需求位移，然后在施加豎向荷載的同時，將表征地震作用的一組水平靜力荷載以單調遞增的形式作用到原結構計算模型上進行靜力推覆分析，在達到需求位移時停止荷載遞增，最后在荷載終止狀態對結構進行抗震性能評估，判斷是否可以保證結構在該水平地震作用下滿足相應的功能要求。
　　靜態彈塑性分析方法并沒有非常嚴格的理論基礎，所以采用這種方法是基于以下兩個基本假設[9]下的：
　　（1）結構的反應和簡化為等效單自由度體系的反應相關，這就意味著機構的反應由第一振型控制；
　　（2）在整個地震過程中機構沿高度的變形由保持不變的形狀向量表示。
　　很明顯這兩個假設忽略了高階振型和扭轉效應的影響，對于高層建筑存在著較大的理論問題，但是，已有的研究表明對于由第一振型起控制作用的多自由度結構，靜力彈塑性分析方法可以得到很好的分析結果。這兩個假設使PUSHOVER方法簡單易用，但同時也在很大程度上限制了它的應用范圍。針對這一問題，很多學者從水平荷載分布形式、目標位移的分析方法等方面做了深入研究不僅提高了計算精度，而且在很大程度上擴大了該方法的應用范圍。
　　2.2靜力彈塑性的基本步驟
　　（1）準備數據。包括建立結構模型,構件的物理常數和恢復力模型等；
　　（2）選擇一單調遞增水平荷載（均布、倒三角、多振型疊加、二次分布、美國規范UBC97加載模式、組合加載等[10]），在水平荷載和豎向荷載共同作用下對結構進行彈塑性分析，作出結構的基地剪力-水平荷載曲線圖（圖1（a））。
　　（3）建立能力譜曲線。對于以第一振型為主的建筑，可以用等效單自由度體系代替原結構。將基底剪力-頂點位移曲線轉換為譜加速度-譜位移曲線，即能力譜曲線（圖1（b））。
　　
　　式中分別為結構第一振型的振型參與系數和廣義質量，為基底剪力，為結構頂點位移。
　　
　　式中：——第i層質點的質量；——振型1中質點i的振幅；——振型1中頂層質點的振幅。
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　（4）建立需求譜曲線。需求譜曲線分為彈性和彈塑性兩種，彈性需求譜（一般取阻尼比為0.05）可以通過彈性單自由度系統地震作用下Sa和Sd之間的以下相容關系
　　得到Sa和Sd之間的關系曲線，即AD格式的需求譜（圖2（b））。
　　彈塑性系統AD格式的需求譜通常有兩種求法，一是通過強度折減系數延性系數的關系利用彈性反應譜求解；二是對譜進行統計研究，直接獲得非彈性設計譜。顯然，第二種方法比第一種方法精確的多，但是需要大量的工作，目前多采用前一種方法。折減系數與延性系數的關系方法最早由Newmark和Hall提出，許多學者也進行了深入研究，文獻[11]對此進行了較為系統的總結。目前，常用的除了Newmark-Hall提出的方法[12]外，還有Krawinkler-Nassar方法[13]，Elghadamsi-Mhraz方法[14]，Riddell-Hidalgo-Cruz方法[15],Vidic-Fajfar-Fischinger方法[16]等。確定了關系后，可以由下式確定彈塑性反應譜：其中，A為彈性加速度反應譜上對應于SDOF體系周期Tn和阻尼比的加速度值。變化值可以得到一組曲線，轉化為AD格式，即為等延性需求譜。
　　（5）將能力譜曲線和某一水準地震的需求譜畫在同一坐標系中，兩曲線的交點稱為性能點，性能點對應的位移即為等效單自由度體系在該地震作用下的譜位移。再根據式（1）將譜位移轉換為原結構的頂點位移，由該位移在Vb-un曲線的位置，即可確定結構在該地震作用下的塑性鉸分布、桿端截面的曲率、總側移及層間側移等，綜合檢驗結構的抗震能力。
　　
　　
　　
　　
　　
　　結構性能點反映結構的延性特性，與結構的位移相關，所以需要根據結構位移不斷修正等效體系的等效剛度和阻尼比，迭代求解。如果計算結果不收斂，即兩曲線沒有交點，說明結構抗震能力不足，需要重新設計。
　　3等效單自由度體系的建立
　　靜力彈塑性分析步驟中比較重要的有恢復力模型的確定，等效體系的建立，測向力分布形式的選擇等，這些是進行PUSHOVER分析必然要解決的問題。
　　等效單自由度體系的建立幾乎每個研究PUSHOVER方法的學者都深入研究過。主要有美國Stanford大學的HelmutKrawinkler和G.D.P.K.Seneviratna[9]，南斯拉夫Ljubljana大學的PeterFajfar[17]，日本的HiroshiKURAMOTO，MasaomiTESHIGAWARA[18]等。雖然等效過程中公式并不完全一致，但是，基本等效原則大致相同。即通過將多層結構理想化為質量集中在各層樓面的多自由度系統的動力運動方程進行等效。本文用KrawinklerandSeneviratna的推導形式作說明。多層結構在地震作用下的動力微分方程為：
　　式中:分別為質量矩陣、阻尼矩陣、層間恢復力向量，為剛度矩陣；分別為樓面相對地面的側向位移向量、速度向量、加速度向量；為地面運動加速度。令：
　　即將結構側向位移向量用頂層位移與形狀向量的乘積來表示。其中，為多自由度頂層位移；為形狀向量，不同類型的結構可采用不同的形狀向量，對于中低層鋼筋混凝土框架結構可取結構的第一振型作為形狀向量。將（7）代入（6）得：
　　定義等效單自由度體系得參考位移：
　　將頂層位移向量用參考位移表示并且代入（8）式，同時方程兩邊前乘得
　　式（10）可以進一步簡化為等效單自由度體系的反應方程：
　　式中，分別為等效單自由度的等效質量、等效阻尼和等效恢復力。分別用下式表示：
　　  
　　由式（9）和式（14）可知，假如形狀向量已知，則可以根據多自由度非線性增量靜力分析結果確定等效單自由度體系的力-位移（）關系。
　　4恢復力模型的確定
　　作用在結構或構件的載荷被卸掉后，構件恢復原來狀態的能力稱為構件的恢復力，它與構件變形之間的關系曲線稱為恢復力特征曲線。曲線一般是對結構或構件進行反復循環加載試驗得來的，它的形狀取決于結構或構件的材料性能以及受力狀態。恢復力模型的選取也是進行結構靜力彈塑性分析非常重要的一步，而且模型的選取直接影響計算結果的精確程度和分析過程的簡化。對于鋼筋混凝土結構或構件為了簡化計算一般采用用雙線型和三線型模型，同時還需要考慮剛度或強度的退化影響。
　　（1）雙曲線模型
　　雙曲線模型是最簡單的恢復力模型，如圖3（a）所示，其正向加載的骨架曲線采用兩根直線01和12，其形狀由構件的屈服強度、彈性剛度與屈服后剛度確定。加載及卸載剛度保持不變，反向加載的骨架曲線同正向。
　　（2）三線型模型
　　三線型模型如圖3（b）所示，正向加載的骨架曲線有三根直線01、12及23組成，其形狀由構件的開裂荷載、屈服荷載及各階段的剛度確定；反向加載的骨架曲線同正向。模型的卸載剛度保持不變，等于屈服點的割線剛度（02線段的斜率），加載剛度考慮了退化現象，并令滯回線指向上一循環的最大位移點。三線型模型能較好地反映以彎曲破壞為主的鋼筋混凝土構件的特性，比較適用于這類構件的計算。
　　
　　5側向荷載分布形式
　　在進行結構靜力彈塑性分析時施加的等效水平靜力單調遞增荷載是為了簡化地震力而采取的一種方法。側向荷載的分布方式，既應反映出地震作用下各結構層慣性力的分布特征，又應使所求得的位移，能大體真實地反映地震作用下結構的位移狀況。如果結構受高振型的影響不大并且在不同側向荷載方式作用下得到的結構破壞方式相似，則分析結果受荷載分布方式的影響不大。事實上，由于任何一種荷載分布方式都不可能反映結構全部的變形及受力要求，因為不論用何種分布方式，都將使得和該加載方式相似的振型作用得到加強,而其他振型的作用則很容易被忽略。而且，在強地震作用下,結構進入彈塑性狀態，結構的自振周期和慣性力大小及分布方式也因之變化，樓層慣性力的分布不可能用一種分布方式來反映。因此Krawinkler[9]建議，最少用兩種以上的荷載分布方式進行pushover分析。現有的等效靜力荷載分布模式有以下幾種[19][20]：
　　（1）均布加載模式（TheUniformDistribution）
　　這種方式也包括兩種，一是把整個建筑高度范圍內的側向力按等分布考慮，二是把地震對每層的作用力看成均勻分布，計算公式分別由式（15）、（16）給出。
　　式中分別表示第層的集中力，第層的分布力，結構底部剪力，結構總層數，第層的重力荷載代表值。這種分布方式對層數較多的結構進入屈服狀態后的受力情形比較接近。
　　（2）倒三角形分布（TheInverseTriangularDistribution）
　　這種加載模式廣泛用于各國規范，如我們熟悉的底部剪力法。它認為在建筑結構高度范圍內所受的慣性力是線性分布的。每層的層間力為：
　　
　　式中分別表示第層的重力荷載代表值和第層所處高度。這種分布模式較適用于層數較少的中低層結構。
　　（3）廣義乘方分布（TheGeneralizedPowerDistribution）
　　這種分布方式可以反映結構變形中不同振型的貢獻以及高階振型的影響，其計算公式如下：
　　
　　式中分別表示第層的重力荷載代表值和第層所處高度。是形狀分布參數，可以定義為結構周期的函數，當時為均勻加載模式；當時為倒三角分布模式；當時為二次分布加載模式。
　　（4）振型自適應分布（TheModelAdaptiveDistubution）
　　前三種分布方式將荷載看成在整個加載過程中是不變的，這對于彈性階段的結構是適應的，但是，當結構進入彈塑性階段，隨著變形的增大構件的屈服，結構的自振特性和剛度不斷變化，層間剪力也會產生相應變化，此時再把水平荷載看成不變的，顯然是不合適的。所謂自適應分布是指根據加載過程中塑性鉸的發展，不斷調整結構和構件的剛度矩陣，從而使振型形狀也發生相應改變。因此該方法采用與振型形狀成比例的側向力分布，可以分為只考慮基本振型和考慮多個振型兩種情況，計算公式分別為式（19）和式（20）
　　
　　式中分別表示第層的重力荷載代表值，第層處第1振型值，上一步計算得到的基底剪力，上一步計算得到的第層層間力。
　　
　　式中分別為第振型在層的值，第振型的振型參與系數；其他參數與（19）式相同。
　　還有很多學者提出其它分布方式，文獻[20]對其作了較為詳細的總結：
　　第一類是固定式分布模式。這類除了均勻分布、倒三角分布、廣義乘方分布外，還有FajfarP.和GaspersicP.提出的與質量向量和第一振型向量成比例的方法等。
　　第二類是適應型的分布形式。除了上面提到的方法外，還有每一荷載步隨抗力變化而變化的分布模式。
　　第三類是與實際地震動相聯系的分布模式。孫景江和錢稼茹[21]等對這類方法做出了先導性的貢獻。
　　6目標位移的確定
　　結構的目標位移確定是PUSHOVER分析中的主要目標，其分析方法目前主要有等效單自由度方法、動力分析方法、能力譜方法、位移影響系數方法和適應譜方法。
　　（1）等效單自由度方法
　　該方法假定結構在地震作用下以某一振型反應且在反應過程中保持不變，因此可以把與結構等效的單自由度體系彈塑性時程分析的最大絕對位移作為目標位移。
　　（2）動力分析方法
　　Faella[22]認為，靜力彈塑性分析法的目標位移取決于設計地震下動力時程分析得到的結構最大位移時，與動力時程分析獲得的層間位移和柱子損傷才較吻合。因為動力時程分析輸入加速度值有正有負，而Pushover方法采取單調加載，只模擬了左(或右)地震作用。
　　Tso和Moghadam[23]基于等位移原則采用彈性動力分析得到結構的目標位移，與基于等效非線性SDOF體系所得的具有同樣的準確性。等位移原理：按彈性計算的譜位移值等于按彈塑性分析得到的譜位移值。該方法與等效單自由度法相比比較簡便，不僅無需建立等效單自由度體系，而且能方便的確定多個目標位移，為需要做性能估計的每個桿件確定目標位移。
　　（3）能力譜方法
　　1975年Freeman等人提出了能力譜方法，通過地震需求曲線和結構能力曲線的疊加來評估結構在給定地震作用下的反應特性，這種方法其形象、直觀、計算簡單，因而受到廣泛重視。能力譜方法中的需求譜多采用彈性反應譜，用等效阻尼考慮非線性特性，進行迭代求解目標位移。然而經研究發現,該方法有時迭代不收斂或不能收斂于正確解。
　　為此Chopra提出了改進的能力譜方法[5]，將需求曲線和能力曲線轉換成相同格式繪在同一坐標圖中，二者的交點即為目標位移點。這種方法經實例檢驗具有較好的計算精度，但是，場地條件等因素的影響目前尚未見系統研究。
　　（4）位移影響系數方法
　　位移系數法是利用PUSHOVER分析和修正的等位移近似法來確定結構的最大位移。FEMA-273(1997)推薦采用位移影響系數法來確定結構頂層的非線性最大期望位移，最大期望位移即為目標位移。
　　（5）適應譜方法
　　前面除了動力分析方法外都需要將結構簡化為等效單自由度體系，而目前規范中的反應譜都是線彈性的，因此又必須等效成線彈性體系，這對于高階振型不能忽略的結構是不合適的。文獻[19]中提到的適應譜方法，采用的側向荷載隨結構動力特性的改變而變化，這樣既體現了體現出結構和地震頻譜特性的耦連效應又考慮了多振型的組合，而且不需要一系列的等效，求得的目標位移精度較高。
　　7結論
　　靜力彈塑性分析方法是基于性能/位移設計的有效方法，是用靜力荷載等效地震荷載對多遇地震作用下結構靜動力特性估計的有效工具。該方法彌補了傳統的基于承載力設計方法無法估計結構進入塑性階段的缺陷，在計算結果相對準確的基礎上，改善了動力時程分析方法技術復雜、計算工作量大、處理結果繁瑣，又受地震波的不確定性、軸力和彎矩的屈服關系等因素影響的情況，非常簡捷的求出結構非彈性效應、局部破壞機制、和整體倒塌的形成方式，進一步對舊建筑的抗震鑒定和加固，對新建筑的設計和抗震性能評估以及對設計方案進行修正等。PUSHOVER方法能較好反映了結構的性態，簡單易行，易為工程設計人員接受。
　　PUSHOVER方法受很多因素的影響，比如對恢復力模型、滯回參數、加載路徑、場地條件以及地震荷載的往復性等目前尚沒有得出完全統一的結論。另外，由于PUSHOVER方法兩個基本假設嚴重影響了它的范圍，對單一振型起控制作用的結構分析結果比較準確，對需要考慮高階振型和地震扭轉耦合效應的高層和不對稱結構的分析結果誤差較大，適應譜法雖然有一定的改進，但是仍需要更深入的研究，以使PUSHOVER方法更確定性的應用于所有結構。