摘要：本文主要介紹利用數(shù)學(xué)模型解決現(xiàn)實生活中實際問題以及擬編一些與課本相關(guān)的建模問題，培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識，增加學(xué)生對數(shù)學(xué)的理解和應(yīng)用數(shù)學(xué)的信心，提高學(xué)生解決問題的能力和創(chuàng)新意識。
　　關(guān)鍵詞：職高，數(shù)學(xué)建模
　　數(shù)學(xué)建模就是對現(xiàn)實事物進行抽象概括，作出一個相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，它是一個數(shù)學(xué)化過程。與人們觀念中習(xí)慣的實物模型不同的是，數(shù)學(xué)模型只是一些數(shù)學(xué)符號、圖表和表達式。實際上，數(shù)學(xué)建模就是一種學(xué)數(shù)學(xué)、做數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)作為工具來解決現(xiàn)實生活中實際問題的一種技術(shù)化、藝術(shù)化的過程。而職高數(shù)學(xué)建模就是用所學(xué)過的數(shù)學(xué)知識解決現(xiàn)實生活中實際問題，是學(xué)與用的過程，是培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識和能力的過程。
　　把數(shù)學(xué)建模引入職高課堂教學(xué)，將會給職高數(shù)學(xué)改革帶來新的突破。數(shù)學(xué)建模的教學(xué)使學(xué)生走出課本，走出傳統(tǒng)的習(xí)題演練；使他們進入生活、生產(chǎn)的實際中，進入一個更加開放的天地；因此，數(shù)學(xué)建模教學(xué)應(yīng)結(jié)合正常的教學(xué)內(nèi)容進行切入，把培養(yǎng)應(yīng)用數(shù)學(xué)意識落實在平時教學(xué)過程中，以教材為載體，擬編一些與課本相關(guān)的建模問題或課本中的例題、習(xí)題改編成應(yīng)用題，逐步提高學(xué)生的建模能力。那么如何在職高數(shù)學(xué)中應(yīng)用數(shù)學(xué)模型來解決問題呢？
　　一．構(gòu)建數(shù)學(xué)模型
　　1．函數(shù)模型
　　例1．某商品的價格為80元，月銷售量為10000件，若價格每降低2元，需要量就增加1000件，如果不考慮其它因素：
　　（1）試求這種商品的月銷售量與商品銷售價格之間的函數(shù)式。
　　（2）若這種商品的進貨價是每件40元，銷售價為多少元時，月利潤最多？
　　上例中的第一個問題是一次函數(shù)的模型；銷量與價格之間的函數(shù)關(guān)系；第2個問題是商業(yè)經(jīng)營中的最佳定價問題，是二次函數(shù)的模型。
　　解：設(shè)商品價格降低n個2元時，則商品銷售價為x=80-2n(n∈N)元。
　　 （1）月銷售量Q=10000+1000n
　　 =10000+500(80-x)
　　 =50000-500x(件)
　　 這種商品的月銷售量Q與商品銷售價格x之間的函數(shù)式關(guān)系為Q=50000-500x.
　　 (2)月利潤y=(x－40)Q
　　 =(x－40)(50000－500x)
　　 =－500+450000.
　　 答：銷售價為每件70元時，月利潤最多。其最多利潤為450000元。
　　說明此題屬市場營銷問題。商品優(yōu)惠、銷售價、成本價和銷售利潤等問題在生活中司空見慣，學(xué)會算賬是現(xiàn)代生活的基本要求，因此在教學(xué)中要啟發(fā)學(xué)生應(yīng)用學(xué)過的數(shù)學(xué)知識去思考問題，解決問題。這將是職高學(xué)生學(xué)習(xí)其他專業(yè)課或以后走上工作崗位要用到的基本知識，具有很強的適用性。
　　例2.一個個體戶有一批貨，如果月初售出可獲利100元，再將本利都存入銀行，已知銀行月息為2.4％，如果月末售出可獲利120元，但要付保管費5元，問這批貨是月初售出好，還是月末售出好？
　　解：設(shè)這批貨的成本費為x元，獲利潤y元，則
　　＝100＋（x＋100）×2.4％
　　＝120－5＝115
　　－＝0.024（x－525）
　　當(dāng)x＞525元時，月初售出好。
　　當(dāng)x＝525元時，月初和月末售出獲利都一樣，
　　當(dāng)x＜525元時，月末售出好。
　　說明本題為決策性問題，一般建立函數(shù)關(guān)系式，從函數(shù)最值的確定作出相應(yīng)決策。
　　2．不等式模型
　　例某公司計劃2008年在甲、乙兩個電視臺做總時間不超過300分鐘的廣告，廣告總費用不超過9萬元。甲、乙電視臺的廣告收費標(biāo)準(zhǔn)分別為每分種500元和每分種200元。假定甲、乙兩個電視臺為該公司所做的每分種廣告能給公司帶來的收益分別為0.3萬元和0.2萬元。問該公司如何分配在甲、乙兩個電視臺的廣告時間，才能使公司的收益最大，最大收益是多少萬元？
　　解：設(shè)公司在甲、乙兩個電視臺做廣告時間分別為x、y分種，總收益為z元，則
　　
　　目標(biāo)函數(shù)z=3000x+2000y.
　　作出可行域（如圖中陰影部分）和目標(biāo)函數(shù)的等值線L:3000x+2000y=0即3x+2y=0（如圖中虛線），平移等值線可知，當(dāng)直線L經(jīng)過點A時，目標(biāo)函數(shù)z取得最大值.
　　聯(lián)立 
　　解得x=100，y=200。
　　∴點的坐標(biāo)為（100，200）。
　　∴=3000x+2000y=700000
　　答：該公司在甲、乙兩個電視臺做廣告時間分別為100分種、200分種時可獲得最大總收益700000元。
　　說明本題是運用線性規(guī)劃知識解決實際問題，雖然本題在中等職業(yè)教材中屬于閱讀內(nèi)容，但在實際中具有很強的適用性。
　　3．?dāng)?shù)列模型
　　例某單位用分期付款的方式為職工購買40套住房，共需1150萬元，購買當(dāng)天先付150萬元，以后每月這天交付50萬元，并加付款利息，月利率為1%
　　（1）若交付150萬元后的第一個月開始算分期付款的第一月，問分期付款的第10個月應(yīng)付多少錢？
　　（2）全部貨款付清后，買這40套住房實際花了多少錢？
　　解：因購房時已付150萬元，則欠款1000萬元，依題意分20次付清，則每次付款的數(shù)額順次構(gòu)成數(shù)列{},故
　　=50+1000×0.01=60（萬元）
　　=50+(1000－50)×0.01＝59.5（萬元）
　　=50＋(1000－50×2)×0.01＝59（萬元）
　　=50＋(1000－50×3)×0.01＝58.5（萬元）
　　……
　　=50＋[1000－50(n－1)]×0.01＝60－(n－1)×0.5(1≤n≤20,n∈N)
　　∴{}是以60為首項，-0.5為公差的等差數(shù)列.
　　（1）＝60－9×0.5＝55.5（萬元）
　　(2)＝60－19×0.5＝50.5（萬元）
　　∴20次分期付款總和為＝＝1105（萬元）
　　∴實際共付1105＋150＝1255（萬元）
　　答：第10個月付55.5萬元，買40套住房實際花1255萬元。
　　說明本題是分期付款問題，現(xiàn)實生活中的許多經(jīng)濟問題，如增長率，利息（單利，復(fù)利），等與時間相關(guān)的實際問題；都可以通過建立相應(yīng)的數(shù)列模型來求解。
　　在教學(xué)中要經(jīng)常滲透建模意識，這樣通過教師的潛移默化，學(xué)生可以從各類大量的建模問題中逐步領(lǐng)悟到數(shù)學(xué)建模的廣泛應(yīng)用，從而激發(fā)學(xué)生去研究數(shù)學(xué)建模的興趣，提高他們運用數(shù)學(xué)知識進行建模的能力。
　　二、編擬數(shù)學(xué)模型
　　（一）從課本內(nèi)容出發(fā)聯(lián)系實際，以教材為載體，擬編一些與課本相關(guān)的建模問題
　　1.距離模型
　　例如：設(shè)y=＋（xR）,求y的最小值。
　　解y=＋
　　 =＋
　　建立兩點間的.距離模型，上式可看成求動點P（x，0）到點A（2，1）、B（1，3）
　　的距離之和的最小值。為此只要求點A（2，1）關(guān)于x軸的對稱點
　　（2，-1）到B（1，3）的距離，
　　即為所求的最小值。
　　所以=此時x=。
　　即線段B與x軸交點橫坐標(biāo)
　　2.直線斜率公式k=模型.
　　例求函數(shù)y=的值域
　　分析表達式與斜率公式k=具有相同的結(jié)構(gòu)，因此，可用直線的斜率來求解把看作是定點A（-2，0）與動點P（cosx，sinx）連線的斜率。
　　解如圖，因為動點P（cosx，sinx）在圓上
　　所以當(dāng)連線與圓相切時，y取得最小值和最大值。
　　由圖可知切線AB和AC的斜率分別為,
　　所以函數(shù)的值域是[,]
　　（二）根據(jù)課本中的純數(shù)學(xué)問題，可以編擬出有實際背景或有一定價值的建模應(yīng)用問題。
　　例如，在學(xué)完概率后，考慮有部分學(xué)生加入買彩票的行列及農(nóng)村“六合彩”的盛行，提出：
　　例1、（1）目前，中國的彩票行業(yè)得到很大的發(fā)展，成為國家財政除稅收外的另一項巨大收入。彩民爭相購買的原因是看中其中的大獎——特等獎，沒獲獎也就當(dāng)做獻愛心，其中，體彩有“36選7”，“31選7”，“22選5”等。假如你是彩迷，你應(yīng)該選擇哪種，其中大獎機會更大些呢？用我們所學(xué)的排列組合及概率算一算，通過學(xué)生的思考、討論及計算得到
　　彩票品種不重復(fù)的選法中特等獎的概率
　　36選7 =8625936 1.2×
　　31選7=26295753.8×
　　22選5 =263343.7×
　　從以上可以看出，以36選7為例若想保證獲得500萬元大獎，你必須付出17251872元，從這三種中特等獎的概率看，22選5的概率最大但它們都是“不可能事件”，面對這種
　　不可能事件，希望同學(xué)們理智的抱著獻愛心的心態(tài)參與。
　　（2）目前，有些農(nóng)村還比較盛行購買“六合彩”，若想獲得百萬大獎，你至少需付出多少呢？通過學(xué)生的思考、計算后，指出“六合彩”屬于私彩，是非法且含有欺詐成分。
　　例如講立體幾何時，可引入長方體、正方體模型把相關(guān)問題放入到這些模型中來解決。
　　例在三棱錐P--ABC中，已知PAPB,PBPC,PAPC,且PA=a,PB=b,PC=c,求三棱錐P--ABC的外接球的半徑。
　　
　　分析此題可以把三棱錐P—ABC放入長方體模型中，則a、b、c就是長方體的長、寬、高，那么外接球的半徑r=
　　又如可以注意挖掘教材中具有創(chuàng)新價值的問題，通過問題的解決來引導(dǎo)學(xué)生的思維發(fā)展，如在進行“直線和平面垂直的判定定理”教學(xué)時，可以先設(shè)計問題：在水平的地面上豎起一根旗桿，問如何檢查旗桿與地面垂直？同學(xué)們紛紛地設(shè)計出自己解決的方案：將旗桿抽象為一條直線，地面抽象為一個平面，根據(jù)直線和平面垂直的定義：用一塊三角板，讓一條直角邊貼緊旗桿，直角頂點靠地，旋轉(zhuǎn)一周，如果靠地的一邊始終在地面上，則可以斷定旗桿與地面垂直，否則旗桿與地面不垂直。
　　綜上所述，在職高數(shù)學(xué)實行建模的教學(xué)，可使學(xué)生體會數(shù)學(xué)與自然及人類社會的密切聯(lián)系，體會數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值，培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識，增加對數(shù)學(xué)的理解和應(yīng)用數(shù)學(xué)的信心。可使學(xué)生學(xué)會用數(shù)學(xué)的思維方式去觀察、分析現(xiàn)實社會，去解決日常生活中的數(shù)學(xué)問題。教師應(yīng)以數(shù)學(xué)建模為載體，使學(xué)生獲得適應(yīng)未來社會生活和進一步發(fā)展所必需的數(shù)學(xué)事實及思想方法和必要的應(yīng)用技能。并通過數(shù)學(xué)建模改變學(xué)生的學(xué)習(xí)方式，體現(xiàn)學(xué)以致用的精神。同時還能培養(yǎng)學(xué)生的思維能力及動手能力，訓(xùn)練學(xué)生的創(chuàng)造性思維，發(fā)展智力，提高學(xué)生解決問題的能力和創(chuàng)新意識。
　　參考文獻：黃印尼.淺談數(shù)學(xué)建模教學(xué).福建中學(xué)教學(xué).2004(1)
　　端方林..應(yīng)用題中數(shù)學(xué)建模舉隅.中學(xué)數(shù)學(xué)教與學(xué).2004(9)