摘要：本文主要介紹利用數(shù)學(xué)模型解決現(xiàn)實(shí)生活中實(shí)際問(wèn)題以及擬編一些與課本相關(guān)的建模問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)，增加學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的理解和應(yīng)用數(shù)學(xué)的信心，提高學(xué)生解決問(wèn)題的能力和創(chuàng)新意識(shí)。
　　關(guān)鍵詞：職高，數(shù)學(xué)建模
　　數(shù)學(xué)建模就是對(duì)現(xiàn)實(shí)事物進(jìn)行抽象概括，作出一個(gè)相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，它是一個(gè)數(shù)學(xué)化過(guò)程。與人們觀念中習(xí)慣的實(shí)物模型不同的是，數(shù)學(xué)模型只是一些數(shù)學(xué)符號(hào)、圖表和表達(dá)式。實(shí)際上，數(shù)學(xué)建模就是一種學(xué)數(shù)學(xué)、做數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)作為工具來(lái)解決現(xiàn)實(shí)生活中實(shí)際問(wèn)題的一種技術(shù)化、藝術(shù)化的過(guò)程。而職高數(shù)學(xué)建模就是用所學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)知識(shí)解決現(xiàn)實(shí)生活中實(shí)際問(wèn)題，是學(xué)與用的過(guò)程，是培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)和能力的過(guò)程。
　　把數(shù)學(xué)建模引入職高課堂教學(xué)，將會(huì)給職高數(shù)學(xué)改革帶來(lái)新的突破。數(shù)學(xué)建模的教學(xué)使學(xué)生走出課本，走出傳統(tǒng)的習(xí)題演練；使他們進(jìn)入生活、生產(chǎn)的實(shí)際中，進(jìn)入一個(gè)更加開(kāi)放的天地；因此，數(shù)學(xué)建模教學(xué)應(yīng)結(jié)合正常的教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行切入，把培養(yǎng)應(yīng)用數(shù)學(xué)意識(shí)落實(shí)在平時(shí)教學(xué)過(guò)程中，以教材為載體，擬編一些與課本相關(guān)的建模問(wèn)題或課本中的例題、習(xí)題改編成應(yīng)用題，逐步提高學(xué)生的建模能力。那么如何在職高數(shù)學(xué)中應(yīng)用數(shù)學(xué)模型來(lái)解決問(wèn)題呢？
　　一．構(gòu)建數(shù)學(xué)模型
　　1．函數(shù)模型
　　例1．某商品的價(jià)格為80元，月銷售量為10000件，若價(jià)格每降低2元，需要量就增加1000件，如果不考慮其它因素：
　　（1）試求這種商品的月銷售量與商品銷售價(jià)格之間的函數(shù)式。
　　（2）若這種商品的進(jìn)貨價(jià)是每件40元，銷售價(jià)為多少元時(shí)，月利潤(rùn)最多？
　　上例中的第一個(gè)問(wèn)題是一次函數(shù)的模型；銷量與價(jià)格之間的函數(shù)關(guān)系；第2個(gè)問(wèn)題是商業(yè)經(jīng)營(yíng)中的最佳定價(jià)問(wèn)題，是二次函數(shù)的模型。
　　解：設(shè)商品價(jià)格降低n個(gè)2元時(shí)，則商品銷售價(jià)為x=80-2n(n∈N)元。
　　 （1）月銷售量Q=10000+1000n
　　 =10000+500(80-x)
　　 =50000-500x(件)
　　 這種商品的月銷售量Q與商品銷售價(jià)格x之間的函數(shù)式關(guān)系為Q=50000-500x.
　　 (2)月利潤(rùn)y=(x－40)Q
　　 =(x－40)(50000－500x)
　　 =－500+450000.
　　 答：銷售價(jià)為每件70元時(shí)，月利潤(rùn)最多。其最多利潤(rùn)為450000元。
　　說(shuō)明此題屬市場(chǎng)營(yíng)銷問(wèn)題。商品優(yōu)惠、銷售價(jià)、成本價(jià)和銷售利潤(rùn)等問(wèn)題在生活中司空見(jiàn)慣，學(xué)會(huì)算賬是現(xiàn)代生活的基本要求，因此在教學(xué)中要啟發(fā)學(xué)生應(yīng)用學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)知識(shí)去思考問(wèn)題，解決問(wèn)題。這將是職高學(xué)生學(xué)習(xí)其他專業(yè)課或以后走上工作崗位要用到的基本知識(shí)，具有很強(qiáng)的適用性。
　　例2.一個(gè)個(gè)體戶有一批貨，如果月初售出可獲利100元，再將本利都存入銀行，已知銀行月息為2.4％，如果月末售出可獲利120元，但要付保管費(fèi)5元，問(wèn)這批貨是月初售出好，還是月末售出好？
　　解：設(shè)這批貨的成本費(fèi)為x元，獲利潤(rùn)y元，則
　　＝100＋（x＋100）×2.4％
　　＝120－5＝115
　　－＝0.024（x－525）
　　當(dāng)x＞525元時(shí)，月初售出好。
　　當(dāng)x＝525元時(shí)，月初和月末售出獲利都一樣，
　　當(dāng)x＜525元時(shí)，月末售出好。
　　說(shuō)明本題為決策性問(wèn)題，一般建立函數(shù)關(guān)系式，從函數(shù)最值的確定作出相應(yīng)決策。
　　2．不等式模型
　　例某公司計(jì)劃2008年在甲、乙兩個(gè)電視臺(tái)做總時(shí)間不超過(guò)300分鐘的廣告，廣告總費(fèi)用不超過(guò)9萬(wàn)元。甲、乙電視臺(tái)的廣告收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)分別為每分種500元和每分種200元。假定甲、乙兩個(gè)電視臺(tái)為該公司所做的每分種廣告能給公司帶來(lái)的收益分別為0.3萬(wàn)元和0.2萬(wàn)元。問(wèn)該公司如何分配在甲、乙兩個(gè)電視臺(tái)的廣告時(shí)間，才能使公司的收益最大，最大收益是多少萬(wàn)元？
　　解：設(shè)公司在甲、乙兩個(gè)電視臺(tái)做廣告時(shí)間分別為x、y分種，總收益為z元，則
　　
　　目標(biāo)函數(shù)z=3000x+2000y.
　　作出可行域（如圖中陰影部分）和目標(biāo)函數(shù)的等值線L:3000x+2000y=0即3x+2y=0（如圖中虛線），平移等值線可知，當(dāng)直線L經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，目標(biāo)函數(shù)z取得最大值.
　　聯(lián)立 
　　解得x=100，y=200。
　　∴點(diǎn)的坐標(biāo)為（100，200）。
　　∴=3000x+2000y=700000
　　答：該公司在甲、乙兩個(gè)電視臺(tái)做廣告時(shí)間分別為100分種、200分種時(shí)可獲得最大總收益700000元。
　　說(shuō)明本題是運(yùn)用線性規(guī)劃知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題，雖然本題在中等職業(yè)教材中屬于閱讀內(nèi)容，但在實(shí)際中具有很強(qiáng)的適用性。
　　3．?dāng)?shù)列模型
　　例某單位用分期付款的方式為職工購(gòu)買40套住房，共需1150萬(wàn)元，購(gòu)買當(dāng)天先付150萬(wàn)元，以后每月這天交付50萬(wàn)元，并加付款利息，月利率為1%
　　（1）若交付150萬(wàn)元后的第一個(gè)月開(kāi)始算分期付款的第一月，問(wèn)分期付款的第10個(gè)月應(yīng)付多少錢？
　　（2）全部貨款付清后，買這40套住房實(shí)際花了多少錢？
　　解：因購(gòu)房時(shí)已付150萬(wàn)元，則欠款1000萬(wàn)元，依題意分20次付清，則每次付款的數(shù)額順次構(gòu)成數(shù)列{},故
　　=50+1000×0.01=60（萬(wàn)元）
　　=50+(1000－50)×0.01＝59.5（萬(wàn)元）
　　=50＋(1000－50×2)×0.01＝59（萬(wàn)元）
　　=50＋(1000－50×3)×0.01＝58.5（萬(wàn)元）
　　……
　　=50＋[1000－50(n－1)]×0.01＝60－(n－1)×0.5(1≤n≤20,n∈N)
　　∴{}是以60為首項(xiàng)，-0.5為公差的等差數(shù)列.
　　（1）＝60－9×0.5＝55.5（萬(wàn)元）
　　(2)＝60－19×0.5＝50.5（萬(wàn)元）
　　∴20次分期付款總和為＝＝1105（萬(wàn)元）
　　∴實(shí)際共付1105＋150＝1255（萬(wàn)元）
　　答：第10個(gè)月付55.5萬(wàn)元，買40套住房實(shí)際花1255萬(wàn)元。
　　說(shuō)明本題是分期付款問(wèn)題，現(xiàn)實(shí)生活中的許多經(jīng)濟(jì)問(wèn)題，如增長(zhǎng)率，利息（單利，復(fù)利），等與時(shí)間相關(guān)的實(shí)際問(wèn)題；都可以通過(guò)建立相應(yīng)的數(shù)列模型來(lái)求解。
　　在教學(xué)中要經(jīng)常滲透建模意識(shí)，這樣通過(guò)教師的潛移默化，學(xué)生可以從各類大量的建模問(wèn)題中逐步領(lǐng)悟到數(shù)學(xué)建模的廣泛應(yīng)用，從而激發(fā)學(xué)生去研究數(shù)學(xué)建模的興趣，提高他們運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行建模的能力。
　　二、編擬數(shù)學(xué)模型
　　（一）從課本內(nèi)容出發(fā)聯(lián)系實(shí)際，以教材為載體，擬編一些與課本相關(guān)的建模問(wèn)題
　　1.距離模型
　　例如：設(shè)y=＋（xR）,求y的最小值。
　　解y=＋
　　 =＋
　　建立兩點(diǎn)間的.距離模型，上式可看成求動(dòng)點(diǎn)P（x，0）到點(diǎn)A（2，1）、B（1，3）
　　的距離之和的最小值。為此只要求點(diǎn)A（2，1）關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)
　　（2，-1）到B（1，3）的距離，
　　即為所求的最小值。
　　所以=此時(shí)x=。
　　即線段B與x軸交點(diǎn)橫坐標(biāo)
　　2.直線斜率公式k=模型.
　　例求函數(shù)y=的值域
　　分析表達(dá)式與斜率公式k=具有相同的結(jié)構(gòu)，因此，可用直線的斜率來(lái)求解把看作是定點(diǎn)A（-2，0）與動(dòng)點(diǎn)P（cosx，sinx）連線的斜率。
　　解如圖，因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)P（cosx，sinx）在圓上
　　所以當(dāng)連線與圓相切時(shí)，y取得最小值和最大值。
　　由圖可知切線AB和AC的斜率分別為,
　　所以函數(shù)的值域是[,]
　　（二）根據(jù)課本中的純數(shù)學(xué)問(wèn)題，可以編擬出有實(shí)際背景或有一定價(jià)值的建模應(yīng)用問(wèn)題。
　　例如，在學(xué)完概率后，考慮有部分學(xué)生加入買彩票的行列及農(nóng)村“六合彩”的盛行，提出：
　　例1、（1）目前，中國(guó)的彩票行業(yè)得到很大的發(fā)展，成為國(guó)家財(cái)政除稅收外的另一項(xiàng)巨大收入。彩民爭(zhēng)相購(gòu)買的原因是看中其中的大獎(jiǎng)——特等獎(jiǎng)，沒(méi)獲獎(jiǎng)也就當(dāng)做獻(xiàn)愛(ài)心，其中，體彩有“36選7”，“31選7”，“22選5”等。假如你是彩迷，你應(yīng)該選擇哪種，其中大獎(jiǎng)機(jī)會(huì)更大些呢？用我們所學(xué)的排列組合及概率算一算，通過(guò)學(xué)生的思考、討論及計(jì)算得到
　　彩票品種不重復(fù)的選法中特等獎(jiǎng)的概率
　　36選7 =8625936 1.2×
　　31選7=26295753.8×
　　22選5 =263343.7×
　　從以上可以看出，以36選7為例若想保證獲得500萬(wàn)元大獎(jiǎng)，你必須付出17251872元，從這三種中特等獎(jiǎng)的概率看，22選5的概率最大但它們都是“不可能事件”，面對(duì)這種
　　不可能事件，希望同學(xué)們理智的抱著獻(xiàn)愛(ài)心的心態(tài)參與。
　　（2）目前，有些農(nóng)村還比較盛行購(gòu)買“六合彩”，若想獲得百萬(wàn)大獎(jiǎng)，你至少需付出多少呢？通過(guò)學(xué)生的思考、計(jì)算后，指出“六合彩”屬于私彩，是非法且含有欺詐成分。
　　例如講立體幾何時(shí)，可引入長(zhǎng)方體、正方體模型把相關(guān)問(wèn)題放入到這些模型中來(lái)解決。
　　例在三棱錐P--ABC中，已知PAPB,PBPC,PAPC,且PA=a,PB=b,PC=c,求三棱錐P--ABC的外接球的半徑。
　　
　　分析此題可以把三棱錐P—ABC放入長(zhǎng)方體模型中，則a、b、c就是長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高，那么外接球的半徑r=
　　又如可以注意挖掘教材中具有創(chuàng)新價(jià)值的問(wèn)題，通過(guò)問(wèn)題的解決來(lái)引導(dǎo)學(xué)生的思維發(fā)展，如在進(jìn)行“直線和平面垂直的判定定理”教學(xué)時(shí)，可以先設(shè)計(jì)問(wèn)題：在水平的地面上豎起一根旗桿，問(wèn)如何檢查旗桿與地面垂直？同學(xué)們紛紛地設(shè)計(jì)出自己解決的方案：將旗桿抽象為一條直線，地面抽象為一個(gè)平面，根據(jù)直線和平面垂直的定義：用一塊三角板，讓一條直角邊貼緊旗桿，直角頂點(diǎn)靠地，旋轉(zhuǎn)一周，如果靠地的一邊始終在地面上，則可以斷定旗桿與地面垂直，否則旗桿與地面不垂直。
　　綜上所述，在職高數(shù)學(xué)實(shí)行建模的教學(xué)，可使學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)與自然及人類社會(huì)的密切聯(lián)系，體會(huì)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)，增加對(duì)數(shù)學(xué)的理解和應(yīng)用數(shù)學(xué)的信心。可使學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的思維方式去觀察、分析現(xiàn)實(shí)社會(huì)，去解決日常生活中的數(shù)學(xué)問(wèn)題。教師應(yīng)以數(shù)學(xué)建模為載體，使學(xué)生獲得適應(yīng)未來(lái)社會(huì)生活和進(jìn)一步發(fā)展所必需的數(shù)學(xué)事實(shí)及思想方法和必要的應(yīng)用技能。并通過(guò)數(shù)學(xué)建模改變學(xué)生的學(xué)習(xí)方式，體現(xiàn)學(xué)以致用的精神。同時(shí)還能培養(yǎng)學(xué)生的思維能力及動(dòng)手能力，訓(xùn)練學(xué)生的創(chuàng)造性思維，發(fā)展智力，提高學(xué)生解決問(wèn)題的能力和創(chuàng)新意識(shí)。
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