摘要：本文基于有限元計算的基本概念，對桿系有限元方法進行了具體分析，推導出了具有對稱形式的有限桿單元剛度修正矩陣，與傳統(tǒng)方法進行了分析比較，提出了與有限桿單元法相適應(yīng)的計算方法。
　　關(guān)鍵詞：水平荷載，樁基，有限元
　　工程中風、海浪、地震、沖擊等橫向荷載對超長樁的影響十分顯著，水平荷載，尤其是縱橫向荷載共同作用下的超長樁研究卻相對匱乏。雖然相關(guān)學者嘗試利用不同方法給出傾斜荷載樁的解答及計算方法。然而，相關(guān)研究的數(shù)值計算過程較為繁瑣，且多采用m法作為土體抗力假設(shè)，難以反映土體的非線性特性。
　　1.軸力桿單元
　　承受軸線載荷的等截面直桿如圖1，其中f(x)是軸向的分布載荷(例如重力，離心力等)，P1，P2，…，Pj，…是軸向的幾種荷載。對此桿件進行應(yīng)力和變形分析時，可以假定應(yīng)力在截面上均勻分布，原來垂直于軸線的截面變形后仍保持和軸線垂直，因此問題可以簡化為一維問題。如以位移為基本未知量，則問題歸結(jié)為求解軸向位移函數(shù)u(x)。
　　圖1軸向載荷作用等截面直桿
　　從上述基本假設(shè)出發(fā)，可以導出承受軸向載荷等截面直桿的基本方程如下：
　　幾何關(guān)系     
　　  (1)
　　應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系    
　　     (2)
　　平衡方程     
　　       (3)
　　或       
　　     (4)
　　端部條件     
　　(端部給定位移)；(端部給定荷載)(5)
　　可以將問題轉(zhuǎn)換為求解泛函的極值問題，其中
　　   (6)
　　式中l(wèi)是桿件長度，A是截面面積，uj=u(xj)是集中載荷Pj(j=1,2,…)作用點xj的位移。集中載荷Pj可看作是包含在分布載荷f(x)中的特殊情況，為討論方便，后文不再單獨列出解釋。
　　典型軸力桿單元如圖2所示
　　圖2二結(jié)點桿單元
　　每個結(jié)點i只有一個位移參數(shù)ui，單元內(nèi)位移u(x)可以利用一維Lagrange插值多項式通過結(jié)點位移ui的插值表示為：
　　      (7)
　　其中
　　N=[N1N2...Nn]      (8)
　　uea=[u1u2...un]T     (9)
　　其中n是單元節(jié)點數(shù)，ξ是單元內(nèi)的自然坐標，其與總體坐標x的關(guān)系如下：
　　，     (10)
　　l是單元長度，xc是單元中心點總體坐標，-1≤ξ≤1。Ni即一維Lagrange多項式，對兩結(jié)點單元
　　，     (11)
　　將上式代入(3-6)，并利用可以得到有限元的求解方程
　　Ku=P        (12)
　　上式中，，
　　   (13)
　　    (3-14)
　　Ke以顯式積分得出具體數(shù)值，表示如下：
　　      (5)
　　2.彎曲梁單元
　　承受橫向載荷和彎矩作用的等截面梁見圖3，其中q(x)是橫向作用的分布載荷，P1，P2，…；M1，M2，…分別是橫向集中載荷和彎矩。經(jīng)典的梁彎曲理論中，假設(shè)變形前垂直梁中心線的截面，變形后仍保持為平面，且仍垂直于中心線。從而使梁彎曲問題簡化為一維問題。基本未知函數(shù)是中面撓度函數(shù)y(x)。梁彎曲問題的基本方程如下：
　　幾何關(guān)系      
　　        (16)
　　應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系     
　　       (17)
　　平衡方程      
　　      (18)
　　端部條件為
　　，       (19)
　　或 ，       (20)
　　或，       (21)
　　以上各式，κ是梁中面變形后的曲率；M，Q分別為截面上的彎矩和橫向建立；I是截面彎曲慣性矩；，，，分別是端部給定的撓度，轉(zhuǎn)動、彎矩和剪力。
　　引入與基本方程相等效的最小位能原理，泛函取最小值
　　  (22)
　　圖3橫向載荷作用下等截面梁
　　圖4二結(jié)點梁單元
　　利用二結(jié)點Hermite單元，樁身位移y(z)可表示為
　　    (23)
　　      (24)
　　       (25)
　　       (26)
　　     (27)
　　      (28)
　　位移向量ae中y1，y1，θ2，θ2分別為單元結(jié)點的水平位移和轉(zhuǎn)角。
　　利用可以得到有限元的求解方程
　　Ka=P        (29)
　　上式中，，
　　   (30)
　　   (31)
　　上式中ξj和ξk分別為橫向集中載荷和彎矩作用點的自然坐標。
　　3.平面桿件系統(tǒng)
　　對于可能承受軸力和彎矩共同作用的平面桿系，離散后單元的各個特性矩陣應(yīng)是軸力單元和彎曲單元的組合。一般情況下，結(jié)點位移參數(shù)表示為：
　　(i=1,2,…,n)     (32)
　　單元剛度矩陣可表示成
　　      (33)
　　其中
　　(i,j=1,2,…,n)     (34)
　　載荷向量按類似方法表示為
　　(i=1,2,…,n)  (35)
　　4.結(jié)論
　　本文利用橫向等效載荷的概念考慮軸向力產(chǎn)生的橫向作用，基于彈性力學變分原理，推導出了具有對稱形式的有限桿單元剛度修正矩陣，與傳統(tǒng)方法進行了分析比較，提出了與有限桿單元法相適應(yīng)的計算方法。
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